Oficjalna premiera luksusowej limuzyny Tatra 613 będącej następcą modelu 603 miała miejsce na wystawie samochodowej Autoprogres w Pradze w 1973 roku.

Zaprojektowanie nowoczesnego nadwozia zlecono włoskiej firmie Carrozzeria Vignale, która zaproponowała dwie wersje nadwoziowe; czterodrzwiowego sedana oraz dwudrzwiowe coupe. Ostatecznie do produkcji wdrożono tylko czterodrzwiowego sedana bazującego na ogólnej koncepcji i technice poprzednika .

Do napędu zastosowano benzynowy wolnossący silnik V8 chłodzony powietrzem. Jego pojemność skokowa wynosiła 3.5 dm3, a umieszczono go wzdłużnie nad tylną osią. Napęd na koła tylne przekazywany był poprzez czterobiegową mechaniczną skrzynię przekładniową.

W 1980 roku wprowadzono nową serię o oznaczeniu T613-2 modernizując między innymi zawieszenie kół, układ hamulcowy oraz silnik. Nieznacznie wzrosła jego moc, a jednocześnie zmniejszono zużycia paliwa. W tym samym roku opracowano również luksusową wersję reprezentacyjną T613 S (Special) przeznaczoną głównie dla wysokich urzędników państwowych z krajów socjalistycznych. W wersji S powiększono rozstaw osi o 150 mm oraz zmieniono przedni pas nadwozia, w którym zastosowano prostokątne reflektory. Dodatkowo zwiększono moc silnika i wzbogacono wyposażenie wnętrza.

W 1985 roku, na Międzynarodowych Targach Expo w Brnie została zaprezentowana kolejna wersja oznaczona jako T613-3. W nadwoziu wprowadzono szereg zmian stylistycznych, co można określić jako face-lifting. Zastosowano oba nowe zderzaki, przednie błotniki, pas przedni i pokrywę bagażnika wykonane z tworzyw sztucznych, Powiększono lampy przednich kierunkowskazów i zespolonych lamp tylnych oraz wyeliminowano elementy chromowane.

Na bazie Tatry 613 powstawały również wersje specjalne takie jak ambulanse Tatra 613-RZP oraz samochody pomocy medycznej i technicznej Tatra 623 używane w wyścigach samochodowych. Zbudowano także pięć sztuk wersji T613 K o nadwoziu typu laundaulet, które były wykorzystywane w trakcie parad wojskowych i rządowych.

W 1990 roku fabryka próbując nadążyć za coraz bardziej rygorystycznymi normami bezpieczeństwa i emisji spalin wprowadziła kolejną serię o oznaczeniu 613-4 wyposażając silnik w wielopunktowy wtrysk paliwa, katalizator oraz pięciobiegową skrzynię biegów. Wersja wtryskowa była mocniejsza i bardziej dynamiczna. Rok później zaoferowano wersję Long bazującą na modelu S. Ostatnią próbą utrzymania Tatry 613 na rynku była wersja 613-5 wprowadzona w 1994 roku. Zmiany ograniczały się głównie do zwiększania komfortu poprzez zastosowanie klimatyzacji oraz opcjonalnej automatycznej skrzyni biegów i drobnych zmian stylistycznych mających uatrakcyjnić nadwozie.

Model 613 zaprojektowany początkiem lat siedemdziesiątych było coraz trudniej modernizować i tym samym uczynić go konkurencyjnym dla zachodnich pojazdów klasy premium, co sprawiło że ostatecznie zakończono jego produkcję w 1996 roku. Ogółem w latach 1974-1996 wyprodukowano tylko 8728 egzemplarzy (wszystkich wersji).

Następcą był model oznaczony jako 700 bazujący technicznie na poprzedniku.